Las
matemáticas o la
matemática (del
lat. mathematĭca, y éste del
gr. μαθηματικά, derivado de μάθημα,
conocimiento) es una ciencia que, partiendo de
axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones cuantitativas entre los entes abstractos (
números,
figuras geométricas,
símbolos). Mediante las matemáticas conocemos las
cantidades, las estructuras, el
espacio y los
cambios. Los
matemáticos buscan patrones, formulan nuevas
conjeturas e intentan alcanzar la
verdad matemática mediante
rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los
axiomas y las
definiciones apropiados para dicho fin.
Mediante la
abstracción y el uso de la
lógica en el
razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las
cuentas, el
cálculo y las
mediciones, junto con el estudio sistemático de la
forma y el
movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico. Las explicaciones que se apoyaban en la
lógica aparecieron por primera vez con la
matemática helénica, especialmente con los
Elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el
Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad.
Hoy en día, las Matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las
ciencias naturales, la
ingeniería, la
medicina y las
ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la
música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica). Las
matemáticas aplicadas, rama de las matemáticas destinada a la aplicación de los conocimientos matemáticos a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en las
matemáticas puras, sin tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.
ETIMOLOGIA
La palabra
"matemática" (del griego μαθηματικά, «lo que se aprende») viene del griego antiguo μάθημα (
máthēma), que quiere decir «campo de estudio o instrucción». El significado se contrapone a μουσική (
musiké) «lo que se puede entender sin haber sido instruido», que refiere a poesía, retórica y campos similares, mientras que μαθηματική se refiere a las áreas del conocimiento que sólo pueden entenderse tras haber sido instruido en las mismas (astronomía, aritmética). Aunque el término ya era usado por los pitagóricos en el siglo VI a. C., alcanzó su significado más técnico y reducido de "estudio matemático" en los tiempos de
Aristóteles (siglo IV a. C.). Su adjetivo es μαθηματικός (
mathēmatikós), "relacionado con el aprendizaje", lo cual, de manera similar, vino a significar "matemático". En particular, μαθηματική τέχνη (
mathēmatikḗ tékhnē; en latín
ars mathematica), significa "el arte matemática".
La forma plural
matemáticas viene de la forma latina
mathematica (
Cicerón), basada en el plural en griego τα μαθηματικά (
ta mathēmatiká), usada por
Aristóteles y que significa, a grandes rasgos, "todas las cosas matemáticas".
HISTORIA
La evolución de la matemática puede ser considerada como el resultado de un incremento de la capacidad de
abstracción del hombre o como una expansión de la materia estudiada. Los primeros conceptos abstractos utilizados por el hombre, aunque también por muchos animales, fueron probablemente los
números. Esta noción nació de la necesidad de contar los objetos que nos rodeaban.
Desde el comienzo de la
historia, las principales disciplinas matemáticas surgieron de la necesidad del hombre de hacer cálculos con el fin de controlar los
impuestos y el
comercio, comprender las relaciones entre los números, la medición de terrenos y la predicción de los
eventos astronómicos. Estas necesidades están estrechamente relacionadas con las principales propiedades que estudian las matemáticas — la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio. Desde entonces, las matemáticas han tenido un profuso desarrollo y se ha producido una fructífera interacción entre las matemáticas y la
ciencia, en beneficio de ambas. Diversos descubrimientos matemáticos se han sucedido a lo largo de la historia y se continúan produciendo en la actualidad.
Los antiguos babilonios utilizaban el
sistema sexagesimal, escala matemática que tiene por
base el número
sesenta. De este sistema la humanidad heredó la división actual del
tiempo: el día en veinticuatro horas - o en dos períodos de doce horas cada uno -, la
hora en sesenta minutos y el
minuto en sesenta segundos. Los árabes proporcionaron a la cultura europea su
sistema de numeración, que reemplazó a la numeración romana. Este sistema prácticamente no se conocía en
Europa antes de que el matemático
Leonardo Fibonacci lo introdujera en
1202 en su obra
Liber abbaci (Libro del ábaco). En un principio los europeos tardaron en reaccionar, pero hacia finales de la
Edad Mediahabían aceptado el nuevo sistema numérico, cuya sencillez estimuló y alentó el progreso de la
ciencia.
Los
mayas desarrollaron una avanzada
civilización precolombina, con avances notables en la matemática, empleando el concepto del
cero, y en la astronomía, calculando con bastante precisión los ciclos celestes.
GRANDES MATEMATICOS DE LA HISTORIA
Algunos de los matemáticos más emblemáticos han sido:
- Inventor del Teorema de Tales, que establece que, si a un triángulo cualquiera le trazamos una paralela a cualquiera de sus lados, obtenemos dos triángulos semejantes. Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y sus lados son proporcionales, es decir, que la igualdad de los cocientes equivale al paralelismo. Este teorema establece así una relación entre el álgebra y la geometría.
- Pitágoras: (582-500 a. C.). Fundador de la escuela pitagórica, cuyos principios se regían por el amor a la sabiduría, a las matemáticas y música.
- Inventor del Teorema de Pitágoras, que establece que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los dos lados del triángulo menores que la hipotenusa y que conforman el ángulo recto). Además del teorema anteriormente mencionado, también inventó una tabla de multiplicar.
- Euclides: (aproximadamente 365-300 a. C.). Sabio griego, cuya obra "Elementos de Geometría" está considerada como el texto matemático más importante de la historia.
- Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Por citar algunos de los más conocidos:
- - La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.
- - En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.
- Arquímedes: (287-212 a. C.). Fue el matemático más importante de la Edad Antigua. También conocido por una de sus frases: "Eureka, eureka, lo encontré". Su mayor logro fue el descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe. Su principio más conocido fue el Principio de Arquímedes, que consiste en que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido que desaloja.
- Fibonacci: (1170-1240). Matemático italiano que realizó importantísimas aportaciones en los campos matemáticos del álgebra y la teoría de números.Famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeración arábiga actualmente utilizado. Descubridor de la Sucesión de Fibonacci, que consiste en una sucesión infinita de números naturales.
- René Descartes: (1596-1650). Matemático francés, que escribió una obra sobre la teoría de las ecuaciones, en la cual se incluía la regla de los signos, para saber el número de raíces positivas y negativas de una ecuación. Inventó una de las ramas de las matemáticas, la geometría analítica.
- Isaac Newton: (1643-1727). Matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica. Abordó el teorema del binomio, a partir de los trabajos de John Wallis, y desarrolló un método propio denominado cálculo de fluxiones. Abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones.
- Gottfried Leibniz: (1646-1716). Matemático alemán, desarrolló, con independencia de Newton, el cálculo infinitesimal. Creó la notación y el corpus conceptual del cálculo que se usa en la actualidad. Realizó importantes aportaciones en el campo de la teoría de los números y la geometría analítica.
- Galileo Galilei: (1564-1642). Matemático italiano, cuyo principal logro fue el crear un nexo de unión entre las matemáticas y la mecánica. Fue el descubridor de la ley de la isocronía de los péndulos. Se inspira en Pitágoras, Platón y Arquímedes y fue contrario a Aristóteles.
- Blaise Pascal: (1623-1662). Matemático francés que formuló uno de los teoremas básicos de la geometría proyectiva, que se denominó como Teorema de Pascal y que él mismo llamo Teoría matemática de la probabilidad.
- Leonhard Euler: (1707-1783). Matemático suizo que realizó importantes descubrimientos en el campo del cálculo y la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática.
- Paolo Ruffini: (1765-1822). Matemático italiano que estableció las bases de la teoría de las transformaciones de ecuaciones, descubrió y formuló la regla del cálculo aproximado de las raíces de las ecuaciones, y su más importante logro, inventó lo que se conoce como Regla de Ruffini, que permite hallar los coeficientes del resultado de la división de un polinomio por el binomio (x - r).
- Joseph-Louis de Lagrange: (1736-1813). Matemático franco-italiano, considerado como uno de los más importantes de la historia, realizó importantes contribuciones en el campo del cálculo y de la teoría de los números. Fue el padre de la mecánica analítica, a la que dio forma diferencial, creó la disciplina del análisis matemático, abrió nuevos campos de estudio en la teoría de las ecuaciones diferenciales y contribuyó al establecimiento formal del análisis numérico como disciplina.
- Carl Friedrich Gauss: (1777-1855). Matemático alemán al que se le conoce como "el príncipe de las matemáticas". Ha contribuido notablemente en varias áreas de las matemáticas, en las que destacan la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial. Fue el primero en probar rigurosamente el Teorema Fundamental del Álgebra. Inventó lo que se conoce como Método de Gauss, que lo utilizó para resolver sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.
- Pierre-Simon Laplace: (1749-1827). Matemático francés que realizó importantes aportaciones a la teoría de Probabilidades, desarrolló la Ecuación de Laplace,e inventó laTransformada de Laplace, que tiene importantes aplicaciones en la electrónica. Fue un ferviente creedor del Determinismo científico.
- Augustin Louis Cauchy: (1789-1857). Matemático francés, pionero en el análisis matemático y la teoría de grupos. Ofreció la primera definición formal de función, límite ycontinuidad. También trabajó la teoría de los determinantes, probabilidad, el cálculo complejo, y las series.
- Jean-Baptiste Joseph Fourier: (1768-1830). Matemático francés. Estudió la transmisión de calor, desarrollando para ello la Transformada de Fourier; de esta manera, extendió el concepto de función e introdujo una nueva rama dentro de la teoría de las ecuaciones diferenciales.
LA INSPIRACION, LAS MATEMATICAS PURAS Y APLICADAS Y LA ESTETICA
Las matemáticas surgen cuando hay problemas difíciles en los que intervienen la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio de los objetos. Al principio, las matemáticas se encontraban en el
comercio, en la medición de los terrenos y, posteriormente, en la
astronomía. Actualmente, todas las ciencias aportan problemas que son estudiados por matemáticos, al mismo tiempo que aparecen nuevos problemas dentro de las propias matemáticas. Por ejemplo, el
físico Richard Feynman inventó la
integral de caminos de la
mecánica cuántica, combinando el razonamiento matemático y el enfoque de la física. Hoy la
teoría de las cuerdas, una teoría científica en desarrollo que trata de unificar las cuatro
fuerzas fundamentales de la física, sigue inspirando a las más modernas matemáticas. Algunas matemáticas solo son relevantes en el área en la que estaban inspiradas y son aplicadas para otros problemas en ese campo. Sin embargo, a menudo las matemáticas inspiradas en un área concreta resultan útiles en muchos ámbitos, y se incluyen dentro de los conceptos matemáticos generales aceptados. El notable hecho de que incluso la matemática
más pura habitualmente tiene aplicaciones prácticas es lo que
Eugene Wigner ha definido como
la irrazonable eficacia de las matemáticas en las Ciencias Naturales.Como en la mayoría de las áreas de estudio, la explosión de los conocimientos en la era científica ha llevado a la especialización de las matemáticas. Hay una importante distinción entre las
matemáticas puras y las
matemáticas aplicadas. La mayoría de los matemáticos que se dedican a la investigación se centran únicamente en una de estas áreas y, a veces, la elección se realiza cuando comienzan su
licenciatura. Varias áreas de las matemáticas aplicadas se han fusionado con otras áreas tradicionalmente fuera de las matemáticas y se han convertido en disciplinas independientes, como pueden ser la
estadística, la
investigación de operaciones o la
informática.
Aquellos que sienten predilección por las matemáticas, consideran que prevalece un aspecto estético que define a la mayoría de las matemáticas. Muchos matemáticos hablan de la
elegancia de la matemática, su intrínseca
estética y su
belleza interna. En general, uno de sus aspectos más valorados es la
simplicidad. Hay belleza en una simple y contundente
demostración, como la demostración de Euclides de la existencia de infinitos
números primos, y en un elegante
análisis numérico que acelera el cálculo, así como en la
transformada rápida de Fourier.
G. H. Hardy en
A Mathematician's Apology (Apología de un matemático) expresó la convicción de que estas consideraciones estéticas son, en sí mismas, suficientes para justificar el estudio de las matemáticas puras. Los matemáticos con frecuencia se esfuerzan por encontrar demostraciones de los teoremas que son especialmente elegantes, el excéntrico matemático
Paul Erdős se refiere a este hecho como la búsqueda de pruebas de "El Libro" en el que Dios ha escrito sus demostraciones favoritas. La popularidad de la
matemática recreativa es otra señal que nos indica el placer que produce resolver las preguntas matemáticas.
RAMAS DE ESTUDIO DE LAS MATEMATICAS
La
Sociedad Americana de Matemáticas distingue unas 5.000 ramas distintas de matemáticas. Dichas ramas están muy interrelacionadas. En una subdivisión amplia de las matemáticas, se distinguen cuatro objetos de estudio básicos: la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio.