Matemática en acción

Las matemáticas en el Antiguo Egipto constituyeron la rama de la ciencia que más se desarrolló, y podemos estudiarlas a partir del papiro Rhind, que anuncia pomposamente: Reglas para estudiar la naturaleza y para comprender todo lo que existe, todo misterio, todo secreto.
En el Imperio Antiguo, usaban un sistema numérico de base 10, en el Imperio Nuevo, fracciones unitarias y tablas de segundos resultados; los escribas solucionaron varios problemas matemáticos muy complejos, 84 de los cuales se explican en el papiro matemático de Rhind.


Nuestro conocimiento de las matemáticas egipcias ha sido incompleto por la falta de fuentes disponibles. La más famosa es el papiro Rhind, o Ahmes, el papiro matemático (PMR), un texto que puede ser leído comparando muchos de sus elementos con otros textos como el EMLR y las tablillas de madera de Ajmim. El PMR se fecha a partir del Segundo periodo intermedio de Egipto (circa 1650 a. C.), pero el autor lo identifica como copia de un papiro del Imperio Medio. El papiro matemático de Rhind contiene una tabla de la serie egipcia de la fracción 2/n (101 entradas) y 84 problemas. Utiliza una forma de aritmética que usa fracciones unitarias, que eran precedidas a menudo por un número entero. Tomando las fracciones de los números enteros y de la unidad juntas como una declaración, como cocientes y restos, o simplemente como aritmética del resto.
El PMR también incluye fórmulas y métodos para cálculo de áreas, y operaciones aritméticas para la adición, la substracción, la multiplicación y la división de las fracciones unitarias. Contiene evidencia de otros conocimientos matemáticos, incluyendo números compuestos y primos; medias aritméticas, geométricas y armónicas; y un método simple de la tabla de Eratóstenes y del número perfecto. También muestra cómo solucionar ecuaciones lineales de primer orden así como sumar series aritméticas y geométricas.
Los papiros de Berlín, escritos alrededor del año 1300 a. C., muestran que los antiguos egipcios habían solucionado dos ecuaciones de segundo grado, Diofánticas, aunque el método de Berlín para solucionar x² + y² = 100 no se ha confirmado en un segundo texto.
Otras fuentes son el papiro matemático de Moscú (PMM), el papiro de Reisner, la tablilla de madera de Ajmim (Museo de El Cairo) (AWT), y varios otros textos que incluyen prescripciones médicas.

En el antiguo Egipto, fueron utilizados dos tipos de numeración. Uno, escrito en jeroglíficos, era un sistema decimal, con signos distintos para 10, 100, 1000, etc., que se usó en el periodo Predinástico. El segundo, el sistema hierático, escrito con un nuevo tipo de cifras que asimilaba un número a un símbolo, se diferenció del sistema jeroglífico por simplificar los símbolos para poder escribir más rápido, y comenzó alrededor de 2150 a. C.
Una numeración jeroglífica tardía fue modificada y adoptada en el Periodo Romano para las aplicaciones oficiales, y las fracciones egipcias en las situaciones cotidianas.


Números en Jeroglífico

 El sistema usado en el antiguo Egipto era decimal, redondeando a menudo al número más alto, y escrito con Jeroglíficos.
Los siguientes jeroglíficos fueron utilizados para designar las potencias de diez:
Los jeroglíficos egipcios podían ser escritos dentro del texto. En este ejemplo, se escriben de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo.
Además de este sistema de numeración, en la antigua lengua egipcia podían escribir los números con las palabras que los representaban, es decir, podían escribir "treinta" en lugar de "30", aunque esto no era frecuente para la mayoría de los números.

"Treinta", por ejemplo, se escribía como:

El número "30" era:

Números en hierático

Para los números hieráticos utilizaron un símbolo para cada número, sustituyendo las cifras que habían sido utilizadas para designar múltiplos de la unidad. Por ejemplo, utilizaban dos símbolos para escribir tres, treinta, trescientos, etcétera, en un sistema que reemplazó al modo jeroglífico.
Como la mayoría de textos administrativos y de contabilidad fue escrita en papiros u ostracas, y no grabados en piedra como los textos jeroglíficos, emplean el sistema hierático de escritura, siempre los casos encontrados de números escritos en hierático son posteriores al Imperio Antiguo. Los papiros de Abusir son una recopilación particularmente importante de textos que utilizan estos números.
Boyer demostró hace 50 años que esa escritura utilizaba un sistema de numeración diferente, usando símbolos individuales para los números 1 a 9, los múltiplos de 10 entre 10 y 90, las centenas a partir del 100 al 900, y los millares a partir de 1000 a 9000. Un número grande como 9999 se podía escribir con solamente cuatro signos, combinando los signos para 9000, 900, 90, y 9, opuestas a 36 jeroglíficos.
Dos papiros matemáticos famosos que usan la escritura hierática son el de Moscú y el de Rhind. Este último contiene ejemplos de cómo los egipcios hicieron sus cálculos matemáticos, y los números fueron designados poniendo una línea sobre la letra asociada al número que era escrito, como /A. Este método de escribir números se extendió por el Cercano Oriente, y los griegos, 1500 años más tarde, lo usaban en dos de sus alfabetos, jónico y dórico, para representar sus números: /alfa = 1, /beta = 2 y así sucesivamente. Respecto a las fracciones, los griegos escribieron 1/n como n', por lo que en la numeración y resolución de problemas los griegos adoptaron o modificaron la numeración egipcia, la aritmética y otros aspectos de las matemáticas egipcias.


Suma y Resta

Para los signos más y menos, se usaban los jeroglíficos

Y

Si los pies señalaban en la dirección de la escritura, significaban suma, si no resta.
La sustracción está descrita en el rollo de cuero EMLR (1800 a. C.), un documento que incluye cuatro métodos de suma.


La multiplicación egipcia se hacía por duplicaciones del multiplicando, y es conocido como duplicación y mediación, y se basa en la propiedad distributiva de la multiplicación.
El método utilizado solo requiere saber sumar:
Si deseamos multiplicar X por Y, siendo X mayor que Y (si no lo fuera, se procedería a invertir el orden de los factores, se trata de realizar el menor número posible de operaciones)

• En la primera columna se escribe la serie: X, 2X, 4X... (obteniendo cada cifra duplicando la precedente)
• En la segunda columna se escribe la serie: 1, 2, 4, 8...(2n < Y) (obteniendo cada cifra duplicando la precedente, hasta el último número que no supere la cifra Y)
• En la tercera columna se marcan las cifras necesarias, de la segunda columna, de tal forma que expresemos el valor de Y como la suma del menor número de sumandos. Esto se puede hacer de dos formas por adición o sustracción: Sustracción, se resta al valor de Y, o sea 14, el último valor de la columna B, que es 8, obteniendo 6. Ahora a 6 hay que restarle el mayor posible de la misma columna, en este caso 4, obteniendo 2 y se repite la operación hasta que el resultado dé 0, en este caso quedaría completado con la casilla siguiente. Adición, mentalmente se suman 8+4+2=14 y se marcan las filas pertinentes.
• El resultado es la suma de las cifras de la columna primera marcadas.

Como un corte para números más grandes, el multiplicando se puede también multiplicar inmediatamente por 10, 100, etc.
Por ejemplo, el problema 69 en el papiro de Rhind (RMP) proporciona el resultado siguiente:

Para multiplicar 80 x 14
Números egipcios			Números actuales
A	B	cifras a sumar	A	B
			80	1
			160	2
			320	4
			640	8
Resultado:
			160 + 320 + 640 = 1.120

Nota: El signo indica las cifras intermedias que se han de sumar para obtener el resultado final: se desecha la primera línea (A = X = 80) y se detiene la operación en B = 8, ya que la siguiente cifra (16) es mayor que Y (14).
La matemática hierática del Imperio Medio mantuvo esta forma de multiplicación jeroglífica que era un sistema lento, pero seguro: al escriba le bastaba saber duplicar las cifras para hacer sus cálculos; por eso no necesitaron crear tablas de multiplicar, como luego se hizo en Mesopotamia.


La división se efectuaba por el procedimiento inverso de la multiplicación: Se marcan los números de la columna B cuya suma es el dividendo, y sumando los correspondientes de la columna A se halla el cociente. Así:

Para dividir 168 entre 8
Números egipcios			Números actuales
A	B	cifras a sumar	A	B
			1	8
			2	16
			4	32
			8	64
			16	128
Resultado:
		1 + 4 + 16 = 21

Notas:

• Las columnas se detienen cuando la columna B llega al número anterior al dividendo.
• El signo indica las cifras intermedias que se han de sumar para obtener el resultado final, aquellas que en la columna B suman 168: 128 + 32 + 8.

Cuando el cociente no es exacto, es necesario introducir las fracciones.

Así, para dividir 169 entre 8 se opera igual, pero habría que añadir 1/8 pues 21 = 16 + 4 + 1 + 1 dividido por 8. Solución 21 + 1/8

Para dividir 170 entre 8 se opera igual, pero habría que añadir 1/8 + 1/8. Solución 21 + 1/8 + 1/8 etc.

Fracciones en textos matemáticos

El Ojo de Horus Udyat contiene  los signos de los primeros números racionales.

Los números racionales se podían también expresar, pero solamente como sumas de fracciones unitarias, es decir sumas de los inversos de los números enteros positivos, a excepción de 2/3 y de 3/4. El jeroglífico que indicaba una fracción era una boca, y significaba la "parte":

Las fracciones eran escritas con el signo r encima del número; en notación actual: 1 como numerador, y el número escrito debajo como denominador. Así, 1/3 se representaba como:

Había símbolos especiales para el 1/2 y para dos fracciones, 2/3 (usado con frecuencia) y 3/4 (utilizado algo menos):

Si el denominador era demasiado grande, la "boca" era puesta al principio del "denominador":

Fracciones para medidas de capacidad

Significa 1 + 1/4 + 1/8 + 1/32 (45/32 = 1'40625) heqat de cebada.